線性代數同濟第七版pdf電子版免費版

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線性代數同濟七版怎么學習

線性代數怎么學習

線性代數其實不難學，但是某些腦殘的教材導致了大家覺得線性代數難學。對，我說的就是同濟版，居然用行列式來起手線性代數學習，一開始逆序數定義就來得莫名其妙，然后那一大坨行列式的定義式更讓人望而生畏，后面再來一大篇幅的各種花式求行列式，當年作為一個萌新的我，直接就喪失了學習線性代數的信心以及興趣了。吐槽完畢。

要學好線性代數，最重要的是抓住線性代數的主線。線性代數的主線就是線性空間以及線性映射，整個線性代數的概念公式定義定理都是圍繞著線性空間以及線性映射展開的。你要做的，就是緊緊抓住這條主線，把線性代數的所有知識點串聯起來，然后融會貫通，自然就能學好線性代數了。

1，線性空間。線性空間的定義比較抽象，簡單的說，就是向量組成的一個集合，這個集合可以定義加法以及純量乘法，并且對加法以及乘法滿足交換律結合律以及分配率。這個集合以及定義在集合上的代數運算就是線性空間。

研究線性空間有幾個途徑，一是基與維數，二是同構，三是子空間與直和以及商空間，四是線性映射。

先講講基與維數。一個線性空間必定存在基，線性空間的任意元素都可以由基線性表出，且表出方式唯一，這個唯一的表出的組合就是這個元素在這個基下的坐標。線性表出且表出方式唯一的充分必要條件是什么？這里又引出了線性無關以及極大線性無關組的概念，極大線性無關組元素的個數又能引出秩的概念。由秩又能引出維度的概念。以上這些概念都是為了刻畫線性空間的基與維數而衍生出來的，并不是憑空出現無中生有的。

下面再談談同構。線性空間千千萬，應如何研究呢？同構就是這樣一個強大的概念，任何維數相同的線性空間之間是同構的，空間的維數是簡單而深刻的，簡單的自然數居然能夠刻畫空間最本質的性質。借助于同構，要研究任意一個n維線性空間，只要研究Rⁿ就行了。

n維線性空間作為一個整體，我們自然想到能不能先研究它的局部性質？所以自然而然的導出了子空間的概念以及整個空間的直和分解。直和分解要求把整個空間分解為兩兩不交的子空間之和，通過研究各個簡單的子空間的性質，從而得出整個空間的性質。

2，線性映射。

前面講了線性空間，舞臺搭好了，輪到主角：線性映射登場了。

線性映射的定義這里就不贅述了。我們小學就學過正比例函數y=kx，這是一個最簡單的一維線性映射，也是一個具體的線性映射'模型'，線性映射的所有性質對比著正比例函數來看，一切都是那么簡單易懂。現在把定義域從一維升級到多維，值域也從一維升級到多維，然后正比例系數k也升級為一個矩陣，那么這個正比例函數就升級為一個線性映射了。

1)線性映射的核空間。這是線性映射的一個重要的概念，什么是線性映射的核空間呢？簡單的說，就是映射到零的原像的集合，記作KER。用正比例函數來類比，顯然當k不等于0時，它的核是零空間，當k為零時，它的核空間是整個R。

有時候需要判定一個線性映射是不是單射，按照定義來還是沒那么好證的，這時我們可以從它的核來判定，只要它的核是零，那么這個線性映射必然是單射。

2)線性映射的像。當自變量取遍整個定義域時，它的像的取值范圍成為一個線性子空間，稱為像空間，記作IM。

3)線性映射的矩陣表示。一個抽象的線性映射應如何'解析'的表達出來呢？這個表達式寫出來就是一個矩陣，且這個矩陣依賴于基的選擇。也就是說在不同的基下，線性映射有不同的矩陣。基有無窮個，相應的矩陣有無窮個。這就給用矩陣研究線性映射帶來了麻煩。

幸好我們有相似矩陣。同一個線性映射在不同的基下的矩陣是相似關系，相似不變量有秩，行列式，跡，特征值，特征多項式等。所以可以通過相似矩陣來研究線性映射的秩，行列式，跡，特征值，特征多項式等性質。

線性映射的矩陣有無窮多，那么這其中有哪些是值得關注的呢？第一就是標準正交基下的矩陣了，這也是最常見的。

然而一個線性映射的矩陣在標準正交基下可能特別復雜，所以需要選擇一組特殊的基，讓它的矩陣在這個基下有最簡單的矩陣表示。如果存在這樣的基，使得線性映射的矩陣為對角矩陣，則稱這個線性映射可對角化。

然而是不是所有線性映射都可以對角化呢，遺憾的是，并不是。那么就要問，如果一個線性映射不能對角化，那么它的最簡矩陣是什么？這個問題的答案是若爾當標準型。可以證明，在復數域上，任何線性映射都存在唯一的若爾當標準型。

線性代數是什么

和運算里迷失了。

我在初接觸線性代數的時候簡直感覺這是一門天外飛仙的學科，一個疑問在我腦子里浮現出來：

線性代數到底是一種客觀的自然規律還是人為的設計？

如果看到這個問題，你的反應是“這還用問，數學當然是客觀的自然規律了”，我一點兒都不覺得奇怪，我自己也曾這樣認為。從中學的初等數學和初等物理 一路走來，很少人去懷疑一門數學學科是不是自然規律，當我學習微積分、概率統計時也從來沒有懷疑過，唯獨線性代數讓我產生了懷疑，因為它的各種符號和運算 規則太抽象太奇怪，完全對應不到生活經驗。所以，我還真要感謝線性代數，它引發了我去思考一門數學學科的本質。其實，不止是學生，包括很多數學老師都不清 楚線性代數到底是什么、有什么用，不僅國內如此，在國外也是這樣，國內的孟巖寫過《理解矩陣》，國外的Sheldon Axler教授寫過《線性代數應該這樣學》，但都還沒有從根本上講清楚線性代數的來龍去脈。對于我自己來講，讀大學的時候沒有學懂線性代數，反而是后來從編程的角度理解了它。很多人說數學好可以幫助編程，我恰好反過來了，對程序的理解幫助了我理解數學。

本文的目標讀者是程序員，下面我就帶各位做一次程序員在線性代數世界的深度歷險！既然是程序員，在進入線性代數的領域之前，我們不妨先從考察一番程序世界，請思考這樣一個問題：

計算機里面有匯編、C/C++、Java、Python等通用語言，還有Makefile、CSS、SQL等DSL，這些語言是一種客觀的自然規律還是人為的設計呢？

為什么要問這樣一個看起來很蠢的問題呢？因為它的答案顯而易見，大家對天天使用的程序語言的認識一定勝過抽象的線性代數，很顯然程序語言雖然包含了 內在的邏輯，但它們本質上都是人為的設計。所有程序語言的共同性在于：建立了一套模型，定義了一套語法，并將每種語法映射到特定的語義。程序員和語言實現 者之間遵守 語言契約：程序員保證代碼符合語言的語法，編譯器/解釋器保證代碼執行的結果符合語法相應的語義。比如，C++規定用new A語法在堆上構造對象A，你這樣寫了C++就必須保證相應的執行效果，在堆上分配內存并調用A的構造函數，否則就是編譯器違背語言契約。

從應用的角度，我們能不能把線性代數視為一門程序語言呢？答案是肯定的，我們可以用語言契約作為標準來試試。假設你有一個圖像，你想把它旋轉60 度，再沿x軸方向拉伸2倍；線性代數告訴你，“行！你按我的語法構造一個矩陣，再按矩陣乘法規則去乘你的圖像，我保證結果就是你想要的”。

實際上，線性代數和SQL這樣的DSL非常相似，下面來作一些類比：

模型和語義：SQL是在低級語言之上建立了關系模型，核心語義是關系和關系運算；線性代數在初等數學之上建立了向量模型，核心語義是向量和線性變換

語法：SQL為每種語義定義了相應的語法，如select, where, join等；線性代數也定義了向量、矩陣、矩陣乘法等語義概念相應的語法

編譯/解釋：SQL可以被編譯/解釋為C語言；線性代數相關概念和運算規則可以由初等數學知識來解釋

實現：我們可以在MySQL、Oracle等關系數據庫上進行SQL編程；我們也可以在MATLAB、Mathematica等數學軟件上進行線性代數編程

所以，從應用的角度看， 線性代數是一種人為設計的領域特定語言(DSL)，它建立了一套模型并通過符號系統完成語法和語義的映射。實際上，向量、矩陣、運算規則的語法和語義都是人為的設計，這和一門語言中的各種概念性質相同，它是一種創造，但是前提是必須滿足語言契約。

為什么要有線性代數？

可能有人對把線性代數當成一門DSL不放心，我給你一個矩陣，你就把我的圖形旋轉了60度沿x軸拉伸了2倍，我總感覺不踏實啊，我都不知道你“底 層”是怎么做！其實，這就像有的程序員用高級語言不踏實，覺得底層才是程序的本質，老是想知道這句話編譯成匯編是什么樣？那個操作又分配了多少內存？別人 在Shell里直接敲一個wget命令就能取下一個網頁，他非要用C語言花幾十分鐘來寫一堆代碼才踏實。其實，所謂底層和上層只是一種習慣性的說法，并不 是誰比誰更本質。 程序的編譯和解釋本質上是不同模型間的語義映射，通常情況下是高級語言映射為低級語言，但是完全也可以把方向反過來。Fabrice Bellard用Java寫了一個虛擬機，把Linux跑在Java虛擬機上，這就是把機器模型往Java模型上映射。

建立新模型肯定依賴于現有的模型，但這是建模的手段而不是目的，任何一種新模型的目的都為了更簡單地分析和解決某一類問題。線性代數在建立的時候，它的各種概念和運算規則依賴于初等數學的知識，但是一旦建立起來這層抽象模型之后，我們就 應該習慣于直接利用高層次的抽象模型去分析和解決問題。